Seminar 2 in Applied Statistics
Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — независимая случайная выборка из распределения с плотностью
\[ f_X(x) = \frac{2\theta^2}{x^3} \mathbf{1}_{[\theta,\infty)}(x), \qquad \theta \geq 1. \]
0.1 а)
Найдите оценку максимального правдоподобия (ОМП) параметра \(\theta\).
0.2 б)
Найдите распределение ОМП-оценки и, используя его, постройте точный доверительный интервал уровня \(100(1-\alpha)\%\) для параметра \(\theta\).
0.3 в)
Найдите оценку \(\theta\) методом моментов, используя соотношения
\[ \mathbb{E}[\ln X_1] = \ln\theta+\frac{1}{2}, \]
\[ \mathbb{E}[(\ln X_1)^2] = (\ln\theta)^2+\ln\theta+\frac{1}{2}. \]
Используя полученную оценку, постройте асимптотический доверительный интервал для \(\theta\).
0.4 г)
С помощью статистического моделирования постройте \(95\%\)-ные бутстрэп-доверительные интервалы для \(\theta\), используя:
- ОМП-оценку из пункта б);
- оценку методом моментов из пункта в).
Сравните полученные бутстрэп-интервалы:
- с точным доверительным интервалом из пункта б);
- с асимптотическим доверительным интервалом, основанным на \(\widehat{\theta}_{\mathrm{MM}}\).
Сравните ширины полученных доверительных интервалов.
С помощью многократного моделирования оцените фактический уровень покрытия каждого интервала и сравните его с заявленным уровнем \(95\%\).
Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — независимая случайная выборка из равномерного распределения
\[ X_i \sim U(0,\theta), \]
где \(\theta>0\) — неизвестный параметр.
0.5 1.
Рассмотрим статистику
\[ T_n = n\left(X_{(n)}-\theta\right), \]
где
\[ X_{(n)} = \max\{X_1,\ldots,X_n\} \]
— максимальный элемент выборки.
Покажите, что функция распределения \(T_n\) имеет вид
\[ F_{T_n}(t) = \left( 1+\frac{t}{n\theta} \right)^n, \qquad t\in[-n\theta,0]. \]
Найдите предельное распределение \(T_n\) при \(n\to\infty\).
Является ли \(X_{(n)}\) состоятельной оценкой параметра \(\theta\)?
0.6 2.
Предложите доверительные интервалы для \(\theta\) уровня \(1-\alpha\), используя:
- точное распределение, найденное в пункте 1;
- предельное распределение, найденное в пункте 1.
Сравните полученные доверительные интервалы.
0.7 3.
Пусть \(X_1^*,\ldots,X_n^*\) — непараметрическая бутстрэп-выборка, полученная выбором с возвращением из исходной выборки
\[ X_1,\ldots,X_n. \]
Обозначим её максимум через
\[ X_{(n)}^* = \max\{X_1^*,\ldots,X_n^*\}. \]
Рассмотрим бутстрэп-аналог статистики \(T_n\):
\[ T_n^* = n\left( X_{(n)}^*-X_{(n)} \right). \]
Покажите, что
\[ \mathbb{P}^*(T_n^*=0) = 1- \left( 1-\frac{1}{n} \right)^n. \]
Найдите предел этой вероятности при \(n\to\infty\).
0.8 4.
Покажите, что условное бутстрэп-распределение статистики \(T_n^*\) не сходится к предельному распределению статистики \(T_n\) при \(n\to\infty\).
Объясните причину несостоятельности обычного непараметрического бутстрэпа в данной задаче.
Что можно сказать о доверительном бутстрэп-интервале для \(\theta\), построенном методом Холла на основе распределения \(T_n^*\)?