Seminar 3 in Applied Statistics

Author

Carlos Buitrago

Прямоугольный стол имеет неизвестные длины сторон \(a>0\) и \(b>0\). Его истинные площадь и периметр равны

\[ S=ab, \qquad P=2(a+b). \]

Для измерения площади помощник независимо измеряет обе стороны стола. Каждый раз прибор допускает независимые гауссовские ошибки:

\[ \varepsilon_i,\eta_i \overset{\mathrm{i.i.d.}}{\sim} \mathcal N(0,\sigma^2), \]

где значение \(\sigma^2\) известно.

Поэтому при \(i\)-м измерении прибор получает длины

\[ X_i=a+\varepsilon_i, \qquad Y_i=b+\eta_i, \]

а в качестве результата записывается произведение измеренных сторон:

\[ S_i = X_iY_i = (a+\varepsilon_i)(b+\eta_i). \]

После \(n\) независимых повторений наблюдается выборка

\[ S_1,\ldots,S_n. \]

  1. Что можно сказать о периметре \(P\), если \(\sigma^2=0\)?

  2. Покажите, что при \(\sigma^2>0\) периметр \(P\) идентифицируем по распределению \(S_i\).

  3. Постройте состоятельную оценку периметра на основе выборки

\[ S_1,\ldots,S_n. \]

  1. Предложите способ построения приближённого \(95\%\) доверительного интервала для \(P\) с помощью бутстрэпа.

0.1 Подсказка

Исследуйте математическое ожидание и дисперсию случайной величины

\[ S_i=(a+\varepsilon_i)(b+\eta_i). \]

В частности, полезно найти

\[ \mathbb E[S_i] \qquad\text{и}\qquad \operatorname{Var}(S_i). \]

Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — случайная выборка из неизвестного абсолютно непрерывного распределения с математическим ожиданием \(m\), дисперсией \(\sigma^2>0\) и конечным четвёртым моментом.

Для математического ожидания \(m\) рассматривается стандартный асимптотический двусторонний доверительный интервал

\[ I_n= \left[ \overline X-q_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{\sigma}^2}{n}}, \; \overline X+q_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{\sigma}^2}{n}} \right], \]

где \(\widehat{\sigma}^2\) — состоятельная оценка дисперсии, а \(q_{\alpha/2}\) — соответствующий квантиль стандартного нормального распределения.

  1. Определите порядок ошибки покрытия этого доверительного интервала, то есть найдите порядок величины

\[ \mathbb P\{m\in I_n\}-(1-\alpha). \]

  1. Объясните, почему для двустороннего доверительного интервала первый член поправки в разложении Эджворта может сократиться.

  2. Что изменится, если исходное распределение не является абсолютно непрерывным и, в частности, может быть дискретным?

0.2 Подсказки

  • Стандартизуйте выборочное среднее (с учётом оценки дисперсии) и обозначьте соответствующую статистику через \(S_n\).

  • Вероятность покрытия двустороннего интервала можно представить в виде

    \[ \mathbb P\{-q_{\alpha/2}\leq S_n\leq q_{\alpha/2}\}. \]

    Таким образом, необходимо исследовать функцию распределения \(S_n\) одновременно в точках \(q_{\alpha/2}\) и \(-q_{\alpha/2}\).

  • Используйте разложение Эджворта:

    \[ \mathbb P(S_n\leq x) = \Phi(x) + n^{-1/2}p_1(x)\phi(x) + n^{-1}p_2(x)\phi(x) + O(n^{-3/2}), \]

    где \(\Phi\) и \(\phi\) — функция распределения и плотность стандартного нормального распределения.

  • Обратите особое внимание на симметрию точек \(\pm q_{\alpha/2}\) и чётность/нечётность полиномов \(p_1,p_2\). Именно здесь возникает сокращение члена порядка \(n^{-1/2}\).

  • После сокращения первого поправочного члена определите, какой член становится главным в ошибке покрытия.

  • Для пункта 3 подумайте, какие условия необходимы для применения обычного разложения Эджворта. В дискретном случае у функции распределения появляются скачки, поэтому такое разложение в приведённой форме может быть неприменимо.

  • Если разложение Эджворта использовать нельзя, вспомните универсальную оценку скорости сходимости в центральной предельной теореме — неравенство Берри–Эссеена. Сравните получаемый из него порядок ошибки с результатом для абсолютно непрерывного распределения.