Problem set 1: Сходимость случайных векторов
Пусть последовательность случайных векторов \(\xi_1,\ldots,\xi_n,\ldots\) сходится по распределению к константе \(C\):
\[ \xi_n \xrightarrow{d} C. \]
Докажите, что тогда
\[ \xi_n \xrightarrow{P} C. \]
Пусть \(\{X_n,\ n\in\mathbb N\}\) — независимые одинаково распределённые случайные величины с распределением
\[ X_i\sim \operatorname{Exp}(\lambda), \qquad \lambda>0. \]
Рассмотрим
\[ Y_n=\frac1n\sum_{i=1}^n X_i. \]
Найдите такие \(a(\lambda)\) и \(\sigma^2(\lambda)>0\), что при \(n\to\infty\)
\[ \sqrt n\bigl(Y_n\sin Y_n-a(\lambda)\bigr) \xrightarrow{d} \mathcal N\bigl(0,\sigma^2(\lambda)\bigr). \]
Пусть \(\{X_n,\ n\in\mathbb N\}\) — независимые одинаково распределённые случайные величины с распределением
\[ X_i\sim \mathcal N(0,\sigma^2). \]
Рассмотрим
\[ Y_n=\frac1n\sum_{i=1}^n |X_i|, \qquad Z_n=\frac1n\sum_{i=1}^n X_i^2, \]
и
\[ T_n= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{Z_n}{Y_n}. \]
Найдите предел по распределению последовательности
\[ \sqrt n\,(T_n-\sigma). \]
Пусть \(\{\xi_n,\ n\in\mathbb N\}\) и \(\{\eta_n,\ n\in\mathbb N\}\) — две последовательности случайных величин, причём для каждого \(n\geq 1\) случайные величины \(\xi_n\) и \(\eta_n\) независимы.
Пусть
\[ \xi_n\xrightarrow{P}\xi, \qquad \eta_n\xrightarrow{P}\eta. \]
Докажите, что случайные величины \(\xi\) и \(\eta\) также независимы.
Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — независимые случайные величины с распределением Лапласа с параметром \(\sigma\), имеющим плотность
\[ p(x) = \frac{1}{2\sigma} e^{-\frac{|x|}{\sigma}}. \]
Рассмотрим
\[ Y=\frac1n\sum_{i=1}^n |X_i|, \qquad Z=\frac1n\sum_{i=1}^n X_i^2. \]
Положим
\[ T=\frac{Z^2}{4Y^3}. \]
Найдите предел по распределению для выражения
\[ \sqrt n\,(T-\sigma). \]