Problem set 2: Статистики и оценки, их свойства
Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из распределения \(\mathrm{U}(0,\theta)\).
Проверьте на несмещённость, состоятельность, сильную состоятельность и асимптотическую нормальность следующие оценки параметра \(\theta\):
(a)
\[ 2\overline X; \]
(б)
\[ \overline X+\frac{X_{(n)}}{2}; \]
(в)
\[ (n+1)X_{(1)}; \]
(г)
\[ X_{(1)}+X_{(n)}; \]
(д)
\[ \frac{n+1}{n}X_{(n)}. \]
Пусть \(\theta_n^*(X)\) — асимптотически нормальная оценка параметра \(\theta\).
Докажите, что тогда \(\theta_n^*(X)\) является состоятельной оценкой \(\theta\).
Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из некоторого распределения с параметром \(\sigma^2\).
Пусть, кроме того,
\[ \mathbb D X_1=\sigma^2. \]
Назовём выборочной дисперсией статистику
\[ s^2 = \frac1n \sum_{i=1}^n (X_i-\overline X)^2. \]
Докажите, что:
(a)
\[ s^2 = \overline{X^2}-\overline X^2; \]
(б) \(s^2\) является сильно состоятельной оценкой для \(\sigma^2\);
(в) если
\[ \mathbb E X_1^4<\infty, \]
то \(s^2\) является асимптотически нормальной оценкой для \(\sigma^2\);
(г) является ли \(s^2\) несмещённой оценкой для \(\sigma^2\)?
Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из экспоненциального распределения с параметром \(\theta\), то есть
\[ p_\theta(t) = \theta e^{-\theta t} I(t>0). \]
Покажите, что для любого \(k\in\mathbb N\) статистика
\[ \left( \frac{k!}{\overline{X^k}} \right)^{1/k} \]
является асимптотически нормальной оценкой параметра \(\theta\).
Найдите её асимптотическую дисперсию.
Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из распределения \(\mathrm{U}(0,\theta)\).
Найдите число \(\delta>0\) и невырожденное распределение \(P_\theta\) такие, что
\[ n^\delta \bigl( \theta-X_{(n)} \bigr) \xrightarrow{d_\theta} \xi, \qquad \xi\sim P_\theta. \]
Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из распределения \(\operatorname{Bern}(\theta)\).
Предположим, что функция \(\tau\) такова, что существует несмещённая оценка для \(\tau(\theta)\).
Докажите, что \(\tau\) является многочленом степени не выше \(n\).
Любой ли такой многочлен подойдёт?