Problem set 3

Найдите оценку по методу моментов для параметров следующих распределений:

  1. \(\operatorname{Pois}(\lambda)\);

(б) \(\operatorname{Geom}(p)\);

(в) \(\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)\);

(г) \(U(a,b)\);

(д) \(\Gamma(\alpha,\beta)\);

(е) \(\operatorname{Bin}(m,p)\);

(ж) \(\mathcal{N}(a,\sigma^2)\);

(з) Парето \(P(\gamma)\);

(и) Коши \(C(\theta)\).

Найдите оценки по методу максимального правдоподобия для параметров следующих распределений:

  1. \(\operatorname{Geom}(p)\);

(б) \(U(0,a)\);

(в) \(\mathcal{N}(a,\sigma^2)\) в трёх случаях: когда неизвестен только один из параметров и когда неизвестны оба параметра;

(г) оценку параметра \(\lambda\) распределения \(\operatorname{Gamma}(\alpha,\lambda)\), считая \(\alpha\) известным;

(д) \(\operatorname{Bin}(n,p)\).

Найдите оценку максимального правдоподобия для параметра сдвига в модели распределения Коши

\[ p_\theta(x) = \frac{1}{\pi\left(1+(x-\theta)^2\right)}, \]

если выборка состоит из

  1. одного наблюдения;

(б) двух наблюдений (т.е. \(n=1,2\)).

Постройте асимптотически нормальную оценку для параметра масштаба в модели распределения Коши

\[ p_\theta(x) = \frac{\theta}{\pi(\theta^2+x^2)}. \]

Предложите асимптотически нормальную оценку параметра \(\theta^2\) в модели распределения Коши с сдвигом (см. задачу 3.4 из методички), а также найдите её асимптотическую дисперсию.