Problem set 4
Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из равномерного распределения на отрезке \([0,\theta]\). Сравните следующие оценки параметра \(\theta\) в среднеквадратичном подходе:
\[ 2\overline{X}, \qquad (n+1)X_{(1)}, \qquad \frac{n+1}{n}X_{(n)}. \]
Пусть \(\theta_1^*(x)\) и \(\theta_2^*(x)\) — две наилучшие в среднеквадратичном подходе оценки параметра \(\theta\) с одинаковыми математическими ожиданиями.
Докажите, что тогда для любого \(\theta\) они совпадают почти наверное, т.е.
\[ \theta_1^*(x)=\theta_2^*(x) \qquad \mathbb{P}_\theta\text{-п.н.} \]
Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из биномиального распределения с параметрами \((m,p)\), причём \(m\) известно.
Найдите информацию Фишера \(i(p)\) в данной модели, а также эффективную оценку параметра \(p\).
Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из экспоненциального распределения с параметром \(\theta\).
Для каких функций \(\tau(\theta)\) существует эффективная оценка?
Вычислите информацию Фишера \(i(\theta)\) одного наблюдения в данной модели.
Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из нормального распределения с параметрами \((a,\sigma^2)\).
Найдите эффективную оценку:
- параметра \(a\), если \(\sigma^2\) известно;
(б) параметра \(\sigma^2\), если \(a\) известно.
Вычислите информацию Фишера одного наблюдения в обоих случаях.
Убедитесь, что следующие распределения принадлежат экспоненциальному классу распределений:
- \(\mathcal{N}(a,\sigma^2)\);
(б) \(\operatorname{Exp}(\lambda)\);
(в) \(\Gamma(\alpha,\beta)\);
(г) \(\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)\);
(д) \(\operatorname{Bern}(p)\);
(е) \(\operatorname{Pois}(\lambda)\).
Найдите соответствующие значения \(u_i(x)\).
Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из нормального распределения \(\mathcal{N}(\theta,1)\) с параметром \(\theta\in\mathbb{R}\).
Для какой функции \(\tau(\theta)\) существует эффективная оценка?
Вычислите информацию Фишера \(i(\theta)\) одного наблюдения в данной модели.
Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из экспоненциального распределения с параметром \(\theta>0\).
Вычислите информацию Фишера статистики \(X_{(1)}\) и статистики
\[ \sum_{i=1}^n X_i. \]
Пусть выполнены условия неравенства Рао–Крамера.
Докажите, что если оценка \(\theta^*(X)\) является эффективной оценкой самого параметра \(\theta\), то она является оценкой максимального правдоподобия для \(\theta\).