Problem set 5

TipProblem 1

Найдите достаточные статистики для следующих параметрических распределений:

1. \(\mathcal{N}(a,\sigma^2)\);

(б) \(\Gamma(\alpha,\beta)\);

(в) \(U(a,b)\);

(г) \(\operatorname{Pois}(\lambda)\);

(д) \(\operatorname{Bin}(1,p)\);

(е) \(\operatorname{Geom}(p)\).

TipProblem 2

Найдите оптимальную оценку параметра \(\theta>0\) по выборке из распределения:

1. \(\mathcal{N}(\theta,1)\);

(б) \(U(0,\theta)\);

(в) \(\operatorname{Pois}(\theta)\);

(г) \(\operatorname{Bern}(\theta)\).

TipProblem 3

Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из нормального распределения с параметрами \((a,\sigma^2)\).

Найдите оптимальную оценку для вектора параметров

\[ \theta=(a,\sigma^2). \]

TipProblem 4

По выборке размера \(n\geq 2\) из распределения \(\operatorname{Exp}(\theta)\) найдите оптимальные оценки для:

1. \(\theta\);

(б) \(\tau(\theta)=\theta^{1/2}\).

TipProblem 5

Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из нормального распределения с параметрами \((0,\theta^2)\).

Найдите оптимальную оценку для \(\theta\).

TipProblem 6

Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из пуассоновского распределения с параметром \(\theta>0\).

Найдите

\[ \mathbb{E}\left(X_1^2\mid X_1+\ldots+X_n\right). \]

TipProblem 7

Докажите, что если \(\widehat{\theta}(X)\) и \(\theta^*(X)\) — две оптимальные оценки, то они равны \(\mathbb{P}_\theta\)-п.н.

TipProblem 8 *

Докажите, что статистики \(\overline{X}\) и \(s^2\), построенные по выборке из нормального распределения, независимы.

TipProblem 9 *

Пусть \(X_1,X_2,X_3\) — н.о.р.с.в. из распределения \(\operatorname{Exp}(\lambda)\).

Докажите, что

\[ X_1+X_2+X_3 \;\perp\!\!\!\perp\; \frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}. \]

TipProblem 10 *

Убедитесь, что для семейства распределений

\[ \mathcal{N}(\theta,\theta^2) \]

не существует полной достаточной статистики.