Problem set 6
По выборке из распределения \(U(0,\theta)\) постройте точный доверительный интервал уровня доверия \(\gamma\) для параметра \(\theta\), границы которого являются функциями от:
- \(\overline{X}\);
- \(X_{(1)}\);
- \(X_{(n)}\).
Посчитайте асимптотику длины интервала при \(n\to\infty\).
\(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из распределения с плотностью
\[ p_\theta(x) = \frac{3x^2}{8\theta^3} \mathbf{1}(x\in[0,2\theta]). \]
С помощью статистики \(X_{(1)}\) постройте точный доверительный интервал уровня доверия \(\gamma\) для параметра \(\theta\).
По выборке из распределения Коши с плотностью
\[ p_\theta(x) = \frac{1}{\pi(1+(x-\theta)^2)} \]
постройте точный асимптотический доверительный интервал для \(\theta\) уровня доверия \(\gamma\).
По выборке из распределения \(\operatorname{Pois}(\theta)\) постройте асимптотический доверительный интервал уровня доверия \(\gamma\) для параметра \(\theta\).
По выборке из распределения \(\Gamma(\alpha,\lambda)\) постройте асимптотический доверительный интервал уровня доверия \(\gamma\) для параметра \(\lambda\):
- если \(\alpha\) известно;
- если \(\alpha\) — неизвестный параметр.
Дана выборка из распределения \(\operatorname{Pareto}(\theta,1)\), \(\theta>0\).
Постройте точный доверительный интервал уровня доверия \(\gamma\) для параметра \(\theta\).
Дана выборка из распределения \(\operatorname{Exp}(\theta)\), \(\theta>0\).
Постройте асимптотический доверительный интервал уровня доверия \(\gamma\) для параметра \(\theta\).
Дана выборка из распределения \(\mathcal{N}(a,\sigma^2)\).
(а) Проверьте, что
\[ \frac{ns^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{(n-1)}. \]
(б) Найдите точную доверительную область уровня доверия \(\gamma\) для вектора параметров
\[ \theta=(a,\sigma^2). \]
Убедитесь, что площадь построенной области стремится к нулю.