Problem set 7

TipЗадача 2. Нормальное распределение и бернуллиевский приор

Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из \(N(\theta,1)\). Найдите байесовскую оценку \(\theta\), если \(\theta\sim\operatorname{Bin}(1,p)\). Будет ли полученная оценка состоятельной?

TipЗадача 3. Равномерное распределение

Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из \(U(0,\theta)\). Найдите байесовскую оценку \(\theta\), если априорное распределение: (а) \(U(0,1)\); (б) имеет плотность \(q(t)=t^{-2}\) при \(t\ge1\). Проверьте состоятельность оценок.

TipЗадача 4. Нормальный сопряжённый приор

Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из \(N(\theta,1)\). Найдите байесовскую оценку \(\theta\), если \(\theta\sim N(a,\sigma^2)\).

TipЗадача 5. Подбор сопряжённых распределений

Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из одного из распределений: (а) \(U(0,\theta)\); (б) \(\operatorname{Bin}(m,p)\), где \(m\) известно и \(p\in(0,1)\) (оценивается \(p\)); (в) \(\operatorname{Pois}(\theta)\); (г) \(N(\theta,1)\); (д) \(N(0,\theta)\) (здесь \(\theta\) — дисперсия). Подберите сопряжённое априорное распределение, найдите апостериорное среднее и проверьте состоятельность.

TipЗадача 6. Приор Джеффриса

Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из (а) \(\operatorname{Pois}(\theta)\); (б) \(N(\theta,1)\). Возьмите приор Джеффриса, найдите байесовскую оценку и сравните с задачей 5.

TipЗадача 7. Равномерный закон со случайным сдвигом

Найдите байесовскую оценку параметра \(\theta\) по выборке \(X_1,\ldots,X_n\) из \(U(\theta,\theta+1)\), если \(\theta\sim\operatorname{Pois}(1)\). Является ли оценка состоятельной?

TipЗадача 8. Экспоненциальное распределение

Найдите байесовскую оценку параметра \(\theta\) по выборке \(X_1,\ldots,X_n\) из экспоненциального распределения с параметром \(\theta\), имеющего сопряжённое априорное распределение. Рассмотрите отдельно параметризацию интенсивностью и масштабом.

TipЗадача 9. Приор Джеффриса (повтор задачи 6)

Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из (а) \(\operatorname{Pois}(\theta)\); (б) \(N(\theta,1)\). Возьмите приор Джеффриса, найдите байесовскую оценку и сравните с задачей 5.