Problem set 8

TipЗадача 1. Углы четырёхугольника

В четырёхугольнике \(ABCD\) независимые равноточные измерения углов \(ABD\), \(DBC\), \(ABC\), \(BCD\), \(CDB\), \(BDA\), \(CDA\), \(DAB\) (в градусах) дали соответственно \(50.78\), \(30.25\), \(78.29\), \(99.57\), \(50.42\), \(40.59\), \(88.87\), \(89.86\). Ошибки имеют распределение \(N(0,\sigma^2)\). Найдите оптимальные оценки \(\beta_1=\angle ABD\), \(\beta_2=\angle DBC\), \(\beta_3=\angle CDB\), \(\beta_4=\angle BDA\) и неизвестной \(\sigma^2\).

Подсказка: \(\angle ABC=\beta_1+\beta_2\), \(\angle CDA=\beta_3+\beta_4\), \(\angle DAB=\beta_1+\beta_4\); используйте сумму внутренних углов четырёхугольника для \(\angle BCD\) и геометрию диагонали \(BD\).

TipЗадача 2. Накопленные ошибки

Пусть \(X_i=\beta_1+i\beta_2+\varepsilon_0+\cdots+\varepsilon_i\), \(i=0,\ldots,n\), где \(\varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_n\) независимы и имеют закон \(N(0,\sigma^2)\). Сведите задачу к линейной модели и найдите оценки наименьших квадратов для \(\beta_1,\beta_2\) и несмещённую оценку \(\sigma^2\).

Подсказка: используйте ковариационную матрицу \(\Sigma_{ij}=\min(i,j)+1\) или преобразование первыми разностями.

TipЗадача 3. Независимость среднего и дисперсии

Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из \(N(a,\sigma^2)\). Докажите, что \(\overline X\) и \(S^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2\) независимы, и вычислите распределение \(nS^2\).

Подсказка: разложите \(\mathbb R^n=L\oplus L^\perp\), \(L=\operatorname{span}(\mathbf1)\).

TipЗадача 4. Интервалы для нормальной выборки

Пусть \(X_1,\ldots,X_n\) — выборка из \(N(a,\sigma^2)\), оба параметра неизвестны. Постройте точные доверительные интервалы для \(a\) и \(\sigma^2\).

Подсказка: для \(a\) нужна статистика Стьюдента, для \(\sigma^2\) — \(\chi^2_{n-1}\).

TipЗадача 5. Три серии взвешиваний

Первый груз массы \(a\) взвешивают \(n_1\) раз (ошибки \(N(0,\sigma^2)\)), второй груз массы \(b\) — \(n_2\) раз на тех же весах, затем оба груза вместе — \(n_3\) раз на других весах (ошибки \(N(0,3\sigma^2)\)). Сведите к линейной модели и найдите оценки наименьших квадратов для \(a,b\) и оптимальную оценку \(\sigma^2\).

Подсказка: строки \(Z\) равны \((1,0)\), \((0,1)\), \((1,1)\); используйте диагональную \(\Sigma\) с элементами \(1\) или \(3\).

TipЗадача 6. Линейный тренд

Независимые \(X_i\sim N(a+bi,\sigma^2)\), \(i=1,\ldots,n\). Постройте точные доверительные интервалы для \(a,b,\sigma^2\).

Подсказка: \(Z\) имеет строки \((1,i)\), число степеней свободы равно \(n-2\).

TipЗадача 7. Известная ковариационная матрица

Пусть \(X\sim N(ab,\sigma^2\Sigma)\), где \(b\in\mathbb R^n\) известен, \(\Sigma\) известная положительно определённая матрица, \(a\) и \(\sigma^2\) неизвестны. Сведите задачу к линейной гауссовской модели и найдите оценки наименьших квадратов параметров \(a\) и \(\sigma^2\).

Подсказка: \(Z=b\) — матрица с одним столбцом, \(k=1\); отбелите данные.