Problem set 9

Задача 1

Имеется $X_1$ — выборка объёма 1. Основная гипотеза $H_0$ состоит в том, что $X_1$ имеет равномерное распределение на отрезке $[0,1]$, альтернатива — в том, что $X_1$ имеет показательное распределение с параметром 1. Постройте наиболее мощный критерий уровня значимости $\alpha$ для различения этих гипотез и вычислите его мощность.

Подсказка и необходимые результаты

Лемма Неймана—Пирсона; разделите $x\in[0,1]$ и $x>1$; используйте $p_1/p_0=e^{-x}$ на $[0,1]$.

Задача 2

$X_1,\ldots,X_n$ — выборка из экспоненциального распределения с параметром $\theta$. Постройте равномерно наиболее мощный критерий уровня значимости $\alpha$ проверки гипотезы $H_0:\theta=\theta_0$ против альтернативы: (а) $H_1:\theta>\theta_0$; (б) $H_1:\theta<\theta_0$.

Подсказка и необходимые результаты

Используйте $T=\sum X_i$, гамма-распределение и монотонное отношение правдоподобия. Здесь $ heta$ — интенсивность.

Задача 3

$X_1,\ldots,X_n$ — выборка из нормального распределения с параметрами $(\theta,1)$. Постройте равномерно наиболее мощный критерий уровня значимости $\alpha$ проверки: (а) $H_0:\theta\ge\theta_0$ против $H_1:\theta<\theta_0$; (б) $H_0:\theta\le\theta_0$ против $H_1:\theta>\theta_0$.

Подсказка и необходимые результаты

Статистика $\sqrt n(\overline X- heta_0)$, нормальные квантили; максимальная ошибка I рода достигается на границе.

Задача 4

$X_1,\ldots,X_n$ — выборка из распределения $\operatorname{Bern}(\theta)$. Докажите, что не существует равномерно наиболее мощного критерия произвольного уровня значимости $\alpha$ для проверки $H_0:\theta=\theta_0$ против $H_1:\theta\ne\theta_0$.

Подсказка и необходимые результаты

Сопоставьте оптимальные области для $ heta_1> heta_0$ и $ heta_2< heta_0$. Уточните роль нерандомизированных критериев и крайних уровней.

Задача 5

$X_1,\ldots,X_n$ — выборка из распределения $N(0,\theta)$. Постройте равномерно наиболее мощный критерий уровня значимости $\alpha$ проверки $H_0:\theta=\theta_0$ против $H_1:\theta=\theta_1$ и найдите его мощность.

Подсказка и необходимые результаты

Примените лемму Неймана—Пирсона к $T=\sum X_i^2$ и распределение $T/ heta\sim\chi^2_n$. Разделите случаи $ heta_1> heta_0$ и $ heta_1< heta_0$.

Задача 6

Пусть $X_1,\ldots,X_n$ — выборка из равномерного распределения на отрезке $[0,\theta]$, $\theta>0$. Постройте р.н.м. критерий уровня значимости $\alpha$ для проверки $H_0:\theta=\theta_0$ против $H_1:\theta\ne\theta_0$ в виде \[S(X_1,\ldots,X_n)=\{X_{(n)}\le c\theta_0\}\cup\{X_{(n)}>\theta_0\}. \]

Подсказка и необходимые результаты

Вычислите $P_{ heta_0}(X_{(n)}\le c heta_0)=c^n$; объясните добавление области $X_{(n)}> heta_0$.

Задача 7

Пусть $\{P_\theta,\theta\in\Theta\}$ — семейство с невозрастающим отношением правдоподобия по статистике $T(X)$, а $\alpha<1$ — некоторое положительное число. Постройте р.н.м. критерий уровня значимости $\alpha$ для проверки гипотез $H_0$ против $H_1$, где: (а) $H_0:\theta\le\theta_0$ (или $\theta=\theta_0$), $H_1:\theta>\theta_0$; (б) $H_0:\theta\ge\theta_0$ (или $\theta=\theta_0$), $H_1:\theta<\theta_0$.

Подсказка и необходимые результаты

Сделайте замену параметра $\eta=- heta$ и статистики $U=-T$, после чего примените теорему о неубывающем отношении правдоподобия.

Задача 8

Показать, что любой равномерно наиболее мощный несмещённый (т.е. $\inf_{\theta\in\Theta_1}\beta(\theta,S)\ge\sup_{\theta\in\Theta_0}\beta(\theta,S)$) критерий $S$ является допустимым, т.е. не существует другого критерия $R$, который был бы не менее мощен, чем $S$, при всех альтернативах и более мощен хотя бы при одной из альтернатив.

Подсказка и необходимые результаты

Разберите определения UMP и допустимости; проверьте, какое множество конкурирующих критериев предполагается (одинаковый уровень/ограничение на ошибку I рода).

1 13. Контрольные вопросы

Чем размер критерия отличается от номинального уровня?
Почему вероятность ошибки II рода зависит от конкретной альтернативы?
Почему для дискретной статистики точный уровень может требовать рандомизации?
Почему для двусторонних альтернатив UMP может не существовать?
Что меняется, если носитель распределения зависит от параметра?
Почему у экспоненциальной интенсивности правосторонняя альтернатива ведёт к левому хвосту суммы?
В чём отличие несмещённого критерия от несмещённой оценки?

Замечание о строгости формулировок

Задачи 4 и 8 требуют аккуратной интерпретации класса критериев (рандомизированные или нет), диапазона $\alpha$ и допустимого множества конкурентов. В пособии формулировки краткие; при доказательствах следует явно указать эти соглашения.