ОВиТМ (Б05-128 / Б05-155)

📹
Видео лекции. Эрлих И.Г. Осень 2019 [playlist]
📑
Lecture notes in Probability (Computer Science program) [download]

Задачи

Семинар 1.  [ответы] Классическая вероятность, геометрическая вероятность.

Семинар 2. [ответы] Схема Испытаний Бернулли. Независимость событий.

Cеминар 3. [ответы] Условная вероятность.

Семинар 4. [ответы] Распределение случайных величин. Матожидание.

Cеминар 5-6. [ответы] Ковариация, корреляция, неравенство Чебышова.

Cеминар 7 [ 15/10] - Kонтрольная работа.

Семинар 8. Системы множеств. Борелевская сигма-алгебра.

Семинар 9. Мера.

Семинар 10. Внешняя мера. Мера Лебега

Семинар 11. Измеримые функции

Семинар 12. Сходимость

Семинар 13. Интеграл Лебега

Семинар 14. [10/12] Коллоквиум.

Посещаемость и оценки

Посещаемость [Группа Б05-128] [Группа Б05-155]

Оценки [Группа Б05-128] [Группа Б05-155]

Критерии оценок

  • Экзамен
  • -8 + 4 (кр) + 4 (квизы ) + 4 (коллоквиум) + 6 (экзамен, надо получить больше 2, допускаются дробные значения) + 2 (бонус за семинары)

Программа курса

  1. Вероятностное пространство как математическая модель случайного эксперимента. Статистическая устойчивость.
  2. Дискретное вероятностное пространство. Классическая вероятность. Построение простейших вероятностных пространств. Элементы комбинаторики. Вероятность суммы событий.
  3. Геометрические вероятности. Задача “о встрече”.
  4. Условная вероятность. Формулы полной вероятности и Байеса.
  5. Независимость событий, виды и взаимосвязь.
  6. Случайные величины. Независимость случайных величин. Распределение. Примеры. Математическое ожидание, дисперсия, ковариация, корреляция. Свойства.
  7. Схема испытаний Бернулли. Математическая модель, теорема Пуассона.
  8. Неравенство Маркова и Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема (б/д).
  9. Системы множеств (полукольца, кольца, алгебры, сигма-алгебры). Примеры. Минимальное кольцо, содержащее полукольцо. Понятие наименьшего кольца, алгебры, сигма-алгебры, содержащей систему множеств.
  10. Меры на полукольцах. Классическая мера Лебега на полукольце промежутков и ее сигма-аддитивность.
  11. Продолжение меры с полукольца на минимальное кольцо. Наследование сигма-аддитивности при продолжении меры. Внешние меры Лебега и Жордана. Мера Лебега. Свойства. Сигма- алгебра измеримых по Лебегу множеств. Сигма-аддитивность меры Лебега на сигма- алгебре измеримых по Лебегу множеств.
  12. Структура измеримых множеств. Теорема Каратеодори.
  13. Полнота и непрерывность мер. Теоремы о связи непрерывности и сигма-аддитивности.
  14. Мера Бореля. Меры Лебега-Стилтьеса на прямой и ее сигма-аддитивность.
  15. Сигма-конечные меры.
  16. Неизмеримые множества.
  17. Измеримые функции. Их свойства. Измеримые функции и предельный переход.
  18. Множество Кантора и кривая Кантора. Теорема о существовании композиции измеримой от непрерывной, не являющейся измеримой функцией.
  19. Сходимость по мере и почти всюду. Их свойства (критерий Коши сходимости по мере, арифметические, связь сходимостей, Теорема Рисса).
  20. Теорема Егорова.
  21. Интеграл Лебега для конечно-простых функций и его свойства. Определение интеграла Лебега в общем случае. Основные свойства интеграла Лебега.
  22. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега.

Литература

  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1981, 1989.
  2. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М., Наука,1979.
  3. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. М., Факториал, 1998, 2002.
  4. Ширяев А.Н. Вероятность. М., Наука, 1989, 2-е изд.
  5. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2. М., Мир, 1967.
  6. М.Е. Жуковский, И.В. Родионов. Основы теории вероятностей
  7. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики
  8. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей
  9. Introduction to probability for Data Science - Stanley H. Shan. [download]

Recommended extra material

  • Short lectures on measure theory: [playlist]
  • Short lectures on Probability Theory [playlist]
  • Probability theory course IMPA [playlist]
  • Probability theory course Harvard University [playlist]
  • Interactive videos on probability from 3Blue1Brown [video]
  • Lectures in introduction to probability (in russian) [playlist]