Вероятностное пространство. Элементарные исходы, события, вероятность. Конечное вероятностное пространство, классическая схема. Некоторые основы комбинаторики (числа сочетаний, размещений, перестановок) и соответствующие множества элементарных исходов.
Схема Бернулли. Условная вероятность: формула Байеса и формула полной вероятности. Независимость событий. Независимость в совокупности и попарная.
Геометрические вероятности. Задача о встрече.
Аксиоматика Колмогорова: вероятностное пространство. Свойства вероятности.
Борелевская σ-алгебра в R. Понятие распределения и функции распределения. Свойства функции распределения.
Дискретные и абсолютно непрерывные распределения, плотность, примеры.
Многомерные распределения. Борелевская σ-алгебра в Rn, маргинальные распределения. Функция распределения и ее свойства (без доказательства). Дискретные и абсолютно непрерывные распределения.
Многомерные распределения, маргинальные распределения, независимость маргинальных распределений, формула свертки.
Случайные величины, случайные векторы, действия над случайными векторами. Распределения случайных величин и случайных векторов. Независимость и критерий независимости. Теорема Фуббини и свертка распределений.
Математическое ожидание, теорема о замене переменных. Математическое ожидание для дискретного и абсолютно непрерывного случаев. Примеры
Свойства математического ожидания. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин.
Вычисление математического ожидания биномиальной и нормальной случайных величин.
Дисперсия — два эквивалентных определения. Примеры вычисления.
Ковариация. Свойства дисперсии и ковариации. Неравенство Коши-Буняковского.
Взаимосвязь ковариации и независимости. Вычисление дисперсии биномиальной и нормальной случайных величин.
Неравенство Маркова, неравенство Чебышева, закон больших чисел в форме Чебышева.
Сходимости почти наверное, по вероятности, в Lp и по распределению и их взаимосвязи. Теорема Александрова (без доказательства). Теорема Лебега о мажорируемой сходимости (без доказательства). Усиленные законы больших чисел (без доказательства).
Характеристическая функция. Вычисление характеристических функций для основных распределений. Свойства. Взаимосвязь со сходимостью по распределению. Центральная предельная теорема.
Локальная, интегральная и пуассоновская предельные теоремы. Формула Стирлинга. Примеры применения предельных теорем.
Характеристическая функция случайного вектора. Критерий независимости в терминах характеристической функции. Гауссовский случайный вектор. Эквивалентные определения и свойства (независимость компонент, параметры распределения).
Виды сходимостей случайных векторов. Взаимосвязь сходимости и покомпонентной сходимости (без доказательства). Многомерная центральная предельная тео- рема (без доказательства) и многомерный закон больших чисел.
Определение простейшего симметричного случайного блуждания. Траектории. Подсчет вероятностей. Принцип отражения. Распределение максимума, вероятность возвращения в 0. Закон повторного логарифма (без доказательства).

Литература

А.Н.Ширяев. ВЕРОЯТНОСТЬ.
М.Е. Жуковский, И.В. Родионов. Основы теории вероятностей
М.Е. Жуковский, И.В. Родионов, Д.А. Шабанов. Основы теории случайных процессов
Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики
Чистяков В.П. Курс теории вероятностей
Introduction to probability for Data Science - Stanley H. Shan. [download]

Recommended extra material

Short lectures on measure theory: [playlist]
Short lectures on Probability Theory [playlist]
Probability theory course IMPA [playlist]
Probability theory course Harvard University [playlist]
Interactive videos on probability from 3Blue1Brown [video]
Lectures in introduction to probability (in russian) [playlist]

a c b d z f