Теория вероятностей (семинары Б02-305)

📔
Задавальник - Осень 2024 [download]

Посещаемость и оценки

Посещаемость, ДЗ и оценки [here]

📔
Задавальник - Осень 2023 [download]
🎬
Видео лекции. Волостнов АС. Осень 2022 [playlist]
📹
Видео лекции. Жуковский МЕ. Осень 2021 [playlist]
📑
Lecture notes (in English - Computer science program) [download]

Листы прошлого года (осень 2023)

Семинар 1. [ответы] Классическая вероятность, геометрическая вероятность. [pag. 2,3 from Lecture notes] [глава 1,2 - учeбное пособие]

Семинар 2. [ответы] Условная вероятность. [pag. 4,5 from Lecture notes] [глава 3 - учeбное пособие]

Семинар 3. [ответы] Схема испытаний Бернулли, независимость событий.

Семинар 4. [ответы] Случайные величины и распределение вероятностей.

Семинар 5. [ответы] Формула свертки

Семинар 6. [ответы] Матожидание и дисперсия случайных величин.

к/р 1 - 24 октября

Семинар 7. Виды сходимости случайных величин

Семинар 8. Предельные теоремы и гауссовские векторы

Семинар 9. [ответы] Случайное блуждание

Семинар 10. [ответы] Ветвящиеся процессы Гальтона–Ватсона

Семинар 11. [ответы] Винеровский процесс

Семинар 12. Марковские цепи

Критерии оценок

  • Экзамен
  • Оценка по курсу X = КР1 + КР2 + С + Э - 4
  1. КРi - оценка за i-ую кр, от 0 до 3,
  2. C - балл за работу в семестре (домашки + работа на семинарах), от 0 до 2.
  3. Э - оценка за экзамен, от 0 до 8 (но если <3, авто-неуд)

Программа курса

  1. Вероятностное пространство. Элементарные исходы, события, вероятность. Конечное вероятностное пространство, классическая схема. Некоторые основы комбинаторики (числа сочетаний, размещений, перестановок) и соответствующие множества элементарных исходов.
  2. Схема Бернулли. Условная вероятность: формула Байеса и формула полной вероятности. Независимость событий. Независимость в совокупности и попарная.
  3. Геометрические вероятности. Задача о встрече.
  4. Аксиоматика Колмогорова: вероятностное пространство. Свойства вероятности.
  5. Борелевская σ-алгебра в R. Понятие распределения и функции распределения. Свойства функции распределения.
  6. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения, плотность, примеры.
  7. Многомерные распределения. Борелевская σ-алгебра в Rn, маргинальные распределения. Функция распределения и ее свойства (без доказательства). Дискретные и абсолютно непрерывные распределения.
  8. Многомерные распределения, маргинальные распределения, независимость маргинальных распределений, формула свертки.
  9. Случайные величины, случайные векторы, действия над случайными векторами. Распределения случайных величин и случайных векторов. Независимость и критерий независимости. Теорема Фуббини и свертка распределений.
  10. Математическое ожидание, теорема о замене переменных. Математическое ожидание для дискретного и абсолютно непрерывного случаев. Примеры
  11. Свойства математического ожидания. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин.
  12. Вычисление математического ожидания биномиальной и нормальной случайных величин.
  13. Дисперсия — два эквивалентных определения. Примеры вычисления.
  14. Ковариация. Свойства дисперсии и ковариации. Неравенство Коши-Буняковского.
  15. Взаимосвязь ковариации и независимости. Вычисление дисперсии биномиальной и нормальной случайных величин.
  16. Неравенство Маркова, неравенство Чебышева, закон больших чисел в форме Чебышева.
  17. Сходимости почти наверное, по вероятности, в Lp и по распределению и их взаимосвязи. Теорема Александрова (без доказательства). Теорема Лебега о мажорируемой сходимости (без доказательства). Усиленные законы больших чисел (без доказательства).
  18. Характеристическая функция. Вычисление характеристических функций для основных распределений. Свойства. Взаимосвязь со сходимостью по распределению. Центральная предельная теорема.
  19. Локальная, интегральная и пуассоновская предельные теоремы. Формула Стирлинга. Примеры применения предельных теорем.
  20. Характеристическая функция случайного вектора. Критерий независимости в терминах характеристической функции. Гауссовский случайный вектор. Эквивалентные определения и свойства (независимость компонент, параметры распределения).
  21. Виды сходимостей случайных векторов. Взаимосвязь сходимости и покомпонентной сходимости (без доказательства). Многомерная центральная предельная тео- рема (без доказательства) и многомерный закон больших чисел.
  22. Определение простейшего симметричного случайного блуждания. Траектории. Подсчет вероятностей. Принцип отражения. Распределение максимума, вероятность возвращения в 0. Закон повторного логарифма (без доказательства).
  23. Ветвящиеся процессы, производящая функция, вероятность вырождения.
  24. Случайные процессы с непрерывным временем: определение и конечномерные распределения. Процессы с независимыми приращениями и гауссовские процессы. Винеровский процесс: два эквивалентных определения (без доказательства). Траектории винеровского процесса и их свойства.
  25. Марковские цепи с дискретным временем. Переходные вероятности. Однородные цепи. Примеры марковских цепей.
  26. Стационарность в узком и широком смысле. Примеры и свойства стационарных процессов.

Литература

  1. А.Н.Ширяев. ВЕРОЯТНОСТЬ.
  2. М.Е. Жуковский, И.В. Родионов. Основы теории вероятностей
  3. М.Е. Жуковский, И.В. Родионов, Д.А. Шабанов. Основы теории случайных процессов
  4. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики
  5. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей
  6. Introduction to probability for Data Science - Stanley H. Shan. [download]

Recommended extra material

  • Short lectures on measure theory: [playlist]
  • Short lectures on Probability Theory [playlist]
  • Probability theory course IMPA [playlist]
  • Probability theory course Harvard University [playlist]
  • Interactive videos on probability from 3Blue1Brown [video]
  • Lectures in introduction to probability (in russian) [playlist]