Problem set 1: Ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона

1 Задачи семинара

Какие из этих функций являются производящими функциями некоторых случайных величин?

  1. \(1-z\);
  2. \(\dfrac{1+z}{2}\);
  3. \(pz+1-p\), \(p\in(0,1)\);
  4. \(e^{\lambda(z-1)}\), \(\lambda>0\).

Ответ: 2, 3, 4.

Случайная величина \(\xi\) имеет бернуллиевское распределение с параметром \(p\in(0,1)\), т.е.

\[ \mathbb P(\xi=1)=p, \qquad \mathbb P(\xi=0)=1-p, \]

а \((X_n,\ n\in\mathbb Z_+)\) — ветвящийся процесс с законом размножения частиц \(\xi\).

Отметьте верные утверждения.

  1. Производящая функция случайной величины \(\xi\) равна

    \[ \varphi_\xi(z)=pz+1-p. \]

  2. Вероятность вырождения процесса равна

    \[ q=1-p. \]

  3. Вероятность того, что процесс впервые выродился в \(n\)-й момент времени, равна

    \[ q_n=p^{n-1}-p^n. \]

  4. Производящая функция общего числа частиц в процессе равна

    \[ g(z)=\frac{z(1-p)}{1-zp}. \]

  5. Вероятность того, что всего в процессе было ровно \(k\) частиц, равна

    \[ p^{k-1}(1-p). \]

Ответ: 1, 3, 4, 5.

Пусть производящая функция числа потомков одной частицы ветвящегося процесса равна

\[ \varphi(z)=\frac{zp}{1-(1-p)z}. \]

Чему равна производящая функция числа потомков в \(n\)-м поколении?

  1. Производящая функция числа потомков в \(n\)-м поколении равна

    \[ \varphi_n(z) = \frac{zp^n}{1-(1-p^n)z}. \]

  2. Вероятность вырождения процесса равна \(1\).

  3. Производящая функция общего числа частиц в процессе равна

    \[ g(z)=\frac{1-z(1-p)}{p}. \]

Ответ: 1.

Пусть \(\xi\) — число потомков частицы в ветвящемся процессе \((X_n,\ n\in\mathbb Z_+)\). Обозначим

\[ \mathbb E\xi=\mu. \]

Чему равно \(\mathbb E X_n\)?

  1. \(\mathbb E X_n=\mu^n\);
  2. \(\mathbb E X_n=\mu^n-\mu^{n-1}+1\);
  3. \(\mathbb E X_n=n\mu\);
  4. \(\mathbb E X_n=n\mu^{n-1}\).

Ответ: 1.

2 Задачи на ДЗ

Пусть случайная величина \(\xi\) имеет биномиальное распределение \(Bin(n,p)\), т.е.

\[ \mathbb P(\xi=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, \qquad k\in\{0,\ldots,n\}, \quad p\in(0,1). \]

Чему равна её производящая функция?

  1. \((pz+(1-p))^n\);
  2. \(n(pz+(1-p))\);
  3. \(p^n z^n+(1-p)^n\);
  4. \(\bigl((1-p)z+p(1-z)\bigr)^n\).

Пусть \((X_n,\ n\in\mathbb Z_+)\) — ветвящийся процесс с производящей функцией числа потомков

\[ \varphi(z) = \frac{z^3+3z^2+11z+2}{17}. \]

Чему равна вероятность вырождения такого процесса?

  1. \(1\);
  2. \(\sqrt{6}-2\);
  3. \(\dfrac{2}{17}\);
  4. вероятность вырождения однозначно не определена.

Пусть \((X_n,\ n\in\mathbb Z_+)\) — ветвящийся процесс с производящей функцией числа потомков

\[ \varphi(z) = \frac{z^2+2z+1}{4}. \]

Чему равна производящая функция общего числа частиц в подобном процессе?

  1. \[ \frac{z^3+2z^2+z}{4}; \]

  2. \(0\);

  3. \[ \frac{2-z-2\sqrt{1-z}}{z}; \]

  4. \[ \frac{2-z+2\sqrt{1-z}}{z}. \]

Пусть \((X_n,\ n\in\mathbb Z_+)\) — ветвящийся процесс с законом размножения частиц \(\xi\), причём известно, что

\[ \mathbb P(\xi=0)=\frac14, \qquad \mathbb P(\xi=2)=\frac18, \qquad \mathbb P(\xi=4)=\frac38, \qquad \mathbb P(\xi=6)=\frac14. \]

На каком из отрезков лежит вероятность вырождения \(q\) подобного процесса?

  1. \(q\in(0,1/4)\);
  2. \(q\in(1/4,1/3)\);
  3. \(q\in(1/3,1/2)\);
  4. \(q\in(1/2,1)\).

Пусть ветвящийся процесс \((X_n,\ n\in\mathbb Z_+)\) построен по случайной величине \(\xi\), имеющей равномерное распределение на множестве \(\{0,1,2\}\).

Отметьте верные утверждения.

  1. Производящая функция процесса \(X_n\) равна

    \[ \varphi_\xi(z) = \frac{1+z+z^2}{2}. \]

  2. Вероятность вырождения процесса равна \(1\).

  3. Производящая функция общего числа частиц в процессе равна

    \[ g(z) = \frac{3-z+\sqrt{9-6z-3z^2}}{2z}. \]

  4. Производящая функция общего числа частиц в процессе равна

    \[ g(z) = \frac{3-z-\sqrt{9-6z-3z^2}}{2z}. \]

  5. Вероятность того, что всего в процессе было ровно \(2\) частицы, равна

    \[ \frac19. \]

Пусть \((X_n,\ n\in\mathbb Z_+)\) — ветвящийся процесс с законом размножения частиц \(\xi\), а производящая функция случайной величины \(\xi\) равна

\[ \varphi(z) = 1-p(1-z)^\alpha, \qquad \alpha\in(0,1). \]

Отметьте верные утверждения.

  1. Производящая функция числа частиц в \(n\)-м поколении равна

    \[ \varphi_n(z) = 1-p^{\,1+\alpha+\cdots+\alpha^{n-1}} (1-z)^{\alpha^n}. \]

  2. Вероятность вырождения процесса равна

    \[ q = 1-p^{\frac{1}{\alpha-1}}. \]

  3. Вероятность того, что процесс выродился строго в \(n\)-й момент времени, равна

    \[ q_n = p^{\,1+\alpha+\cdots+\alpha^{n-2}} - p^{\,1+\alpha+\cdots+\alpha^{n-1}}. \]

  4. \[ \mathbb E\xi=\frac12. \]

Какие из этих функций являются производящими функциями некоторых случайных величин?

  1. \[ \frac{1+2z+3z^2}{6}; \]

  2. \(1\);

  3. \[ \sqrt{\frac{1+z}{2}}; \]

  4. \(z\).

3 Дополнительные задачи

Пусть \(Y\) — общее число частиц в процессе Гальтона–Ватсона. Верно ли, что

\[ G_Y(1)=1? \]

Пусть \(\xi\) — число потомков частицы в ветвящемся процессе Гальтона–Ватсона. Обозначим

\[ \mathbb E\xi=\mu, \qquad \mathbb D\xi=\sigma^2. \]

Найдите

\[ \mathbb D X_n. \]

Пусть ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона построен по случайной величине \(\xi\), имеющей производящую функцию

\[ G(s) = 1-\frac12\sqrt{1-s}. \]

Найдите:

  1. вероятность вырождения процесса;

  2. производящую функцию общего числа частиц процесса;

  3. вероятность того, что в процессе было всего \(10\) частиц.