Problem set 2: Процессы с независимыми приращениями. Пуассоновский процесс

1 Задачи семинара

TipProblem 1

Известно, что процесс \((X_t, t\geq 0)\) является процессом восстановления, построенным по последовательности независимых одинаково распределённых неотрицательных случайных величин \((\xi_n, n\in\mathbb N)\), которые имеют невырожденное распределение.

Отметьте верные (в общем случае) утверждения:

1. процесс \(X_t\) имеет непрерывные справа траектории;
2. процесс \(X_t\) имеет независимые приращения;
3. процесс \(X_t\) принимает только целые неотрицательные значения;
4. процесс \(X_t\) стремится к нулю (с вероятностью \(1\)) с ростом \(t\).

TipProblem 2

Пусть \((N_t,t\geq 0)\) — пуассоновский процесс интенсивности \(\lambda>0\).

Какие из перечисленных ниже случайных процессов имеют независимые приращения?

1. \(X_t=N_t-N_1\), \(t\geq 0\);
2. \(X_t=3\), \(t\geq 0\);
3. \(X_t=N_{t^2-t+1}\), \(t\geq 0\);
4. \(X_t=N_t\mod 2\), \(t\geq 0\).

TipProblem 3

Пусть \((N_t,t\geq 0)\) — пуассоновский процесс интенсивности \(\lambda\).

Чему равна ковариация

\[ r(s,t)=\operatorname{cov}(N_t,N_s), \]

при \(t,s\geq 0\)?

1. \(\lambda\min(t,s)\);
2. \(\lambda\min(t-t^2,s-s^2)\);
3. \(\lambda\min(t,s)-\lambda^2ts\);
4. \(\lambda(\min(t,s)-ts)\).

TipProblem 4

Пусть \((\xi_n,n\in\mathbb N)\) — независимые экспоненциальные случайные величины с параметром \(\lambda\),

\[ S_n=\xi_1+\dots+\xi_n, \]

а

\[ N=\{N_t,t\geq 0\} \]

— процесс восстановления, построенный по ним (пуассоновский процесс интенсивности \(\lambda\)).

Для каждого \(t>0\) обозначим

\[ V_t=S_{N_t+1}-t \]

(«перескок») и

\[ U_t=t-S_{N_t} \]

(«недоскок»).

Чему равна вероятность

\[ \mathbb P(V_t>v,\ U_t>u), \]

если известно, что \(0<u<t\), \(v>0\)?

1. \(e^{-\lambda v}(1-e^{-\lambda u})\);
2. \(e^{-\lambda v}e^{-\lambda u}\);
3. \(1-e^{-\lambda\min(v,u)}\);
4. \(e^{-\lambda\max(v,u)}\).

2 Вопросы на знание теории

TipProblem 5

Для всех \(0\leq s<t\) заданы характеристические функции \(\varphi_{s,t}(\tau)\).

В каких из перечисленных ниже случаев существует такой процесс \((X_t,t\geq0)\) с независимыми приращениями, что \(\varphi_{s,t}(\tau)\) является характеристической функцией случайной величины

\[ X_t-X_s? \]

1. \(\varphi_{s,t}(\tau)=\cos((t-s)\tau)\);
2. \(\varphi_{s,t}(\tau)=e^{-(t-s)\tau^2}\);
3. \(\varphi_{s,t}(\tau)=\left(1+(t-s)\tau^2\right)^{-1}\);
4. \(\varphi_{s,t}(\tau)=e^{-|s-t||\tau|}\).

TipProblem 6

Отметьте эквивалентное определение того, что процесс \((X_t,t\geq0)\) имеет независимые приращения.

1. Для всех \(n\in\mathbb N\) и \(0\leq t_1<t_2<\dots<t_n\) случайные величины

\[ X_{t_2}-X_{t_1},\dots,X_{t_n}-X_{t_{n-1}} \]

попарно независимы;

2. Для всех \(n\in\mathbb N\) и \(t_1,\dots,t_n\in\mathbb R_+\) случайные величины

\[ X_{t_0}-X_{t_1},\dots,X_{t_n}-X_{t_{n-1}} \]

независимы в совокупности;

3. Для всех \(n\in\mathbb N\) и \(0\leq t_1<\dots<t_n\) случайные величины

\[ X_{t_1},X_{t_2},\dots,X_{t_n} \]

независимы в совокупности;

4. Для всех \(n\in\mathbb N\) и \(0\leq t_1<\dots<t_n\) случайная величина

\[ X_{t_n}-X_{t_{n-1}} \]

независима со случайным вектором

\[ (X_{t_1},X_{t_2},\dots,X_{t_{n-1}}). \]

TipProblem 7

Пусть \((N_t,t\geq0)\) — пуассоновский процесс интенсивности \(\lambda\).

Отметьте верные утверждения.

\[ N_t-N_s\sim\operatorname{Pois}\bigl(\lambda\min(t,s)\bigr); \]

2. все скачки траекторий пуассоновского процесса равны \(1\) почти наверное;

3. для любых

\[ 0<t_1<t_2<\dots<t_n \]

случайные величины

\[ N_{t_1},\quad N_{t_2}-N_{t_1},\quad \dots,\quad N_{t_n}-N_{t_{n-1}} \]

попарно независимы;

4. \(DN_t\) убывает как функция от времени \(t\).

3 Задачи на ДЗ

TipProblem 8

Пусть \((N_t,t\geq 0)\) — пуассоновский процесс интенсивности \(\lambda>0\).

Какие из перечисленных ниже случайных процессов \((X_t,t\geq0)\) имеют независимые приращения?

1. \(X_t=N_t+N_{2t}\);
2. \(X_t=t\xi\), где \(\xi\) имеет стандартное нормальное распределение;
3. \(X_t=\xi_t\), где для любых \(t_1,t_2,\dots,t_n\in\mathbb R_+\) случайные величины \[ \xi_{t_1},\dots,\xi_{t_n} \] независимы в совокупности;
4. \(X_t=N_t^2\).

TipProblem 9

Пусть \((N_t,t\geq0)\) — пуассоновский процесс интенсивности \(\lambda>0\).

Чему равна условная вероятность

\[ \mathbb P(N_5=2,N_4=1\mid N_2=1)? \]

1. \(\lambda e^{-2\lambda}\);
2. \(\lambda e^{-3\lambda}\);
3. \(\lambda^2e^{-2\lambda}\);
4. \(\dfrac{1}{2}\lambda e^{-3\lambda}\).

TipProblem 10

Пусть \((N_t,t\geq0)\) — пуассоновский процесс интенсивности \(\lambda>0\).

Чему равна ковариация

\[ \operatorname{cov}(X_t,X_s), \]

где процесс \((X_t,t\geq0)\) равен

\[ X_t=N_t-t\xi,\qquad t\geq0, \]

а случайная величина \(\xi\) не зависит от \((N_t,t\geq0)\) и

\[ D\xi=\lambda? \]

1. \(\lambda\min(t,s)\);
2. \(\lambda\min(t-t^2,s-s^2)\);
3. \(\lambda\min(t,s)+\lambda ts\);
4. \(\lambda(\min(t,s)-ts)\).

TipProblem 11

Пусть \(Y_n\) — момент \(n\)-го скачка пуассоновского процесса \((N_t,t\geq0)\) интенсивности \(\lambda>0\).

Чему равняется

\[ \mathbb E Y_n? \]

1. \(\lambda n\);
2. \(\dfrac{n}{\lambda}\);
3. \(\dfrac{\lambda}{n}\left(n^2-(n-1)^2\right)\);
4. \(\dfrac{n^2-(n-1)^2}{\lambda}\).

TipProblem 12

Пусть \((N_t,t\geq0)\) — пуассоновский процесс интенсивности \(\lambda>0\).

Чему равняется предел отношения

\[ \frac{N_t}{t} \]

при \(t\to+\infty\) в смысле сходимости почти наверное?

1. \(0\);
2. \(\lambda\);
3. \(+\infty\);
4. \(\lambda^{-1}\).

TipProblem 13

Случайная величина \(X\) равномерно распределена на \([0,1]\), а \((N(t),t\geq0)\) — пуассоновский процесс интенсивности \(\lambda\), не зависящий от \(X\).

Чему равна вероятность того, что между точками \(X\) и \(X+1\) нет скачков пуассоновского процесса?

1. \(e^{-\lambda}\);
2. \(1-\dfrac{1}{\lambda}\);
3. \(\dfrac{1}{2}e^{-\lambda}\);
4. \(\lambda e^{-\lambda}\).