Неделя 4 — Винеровский процесс: задачи 2–6

1 Задачи по винеровскому процессу

Задачи 2–6. Выберите правильный вариант (или варианты) ответа.

Чему равна ковариационная функция процесса \(X_t=W_t^2-W_t\), \(t\geq 0\)?

  1. \(2\min(t^2,s^2)-\min(t,s)\);
  2. \(\min(2t^2+t,2s^2+s)\);
  3. \(\min(2t^2-t,2s^2-s)\);
  4. \(2\min(t^2,s^2)+\min(t,s)-2ts\min(t,s)\).

Пусть \((W_t,\ t\geq 0)\) — винеровский процесс. Какие из перечисленных ниже процессов \((X_t,\ t\geq 0)\) тоже являются винеровскими?

  1. \(X_t=\sqrt{c}\,W_{t/c}\), где \(c>0\);
  2. \(X_t=(t+1)Y_{t/(t+1)}\), \(t\geq 0\), где \((Y_t,\ t\in[0,1])\) — гауссовский процесс с нулевой функцией среднего и ковариационной функцией \(r(s,t)=\min(s,t)-st\);
  3. \(X_t=W_t^2-t\);
  4. \(X_t=\dfrac{1}{\sqrt{\lambda}}(N_t-\lambda t)\), где \(N_t\) — пуассоновский процесс интенсивности \(\lambda>0\).

Пусть \((W_t,\ t\geq 0)\) — винеровский процесс. Какие из перечисленных ниже процессов \((X_t,\ t\geq 0)\) имеют непрерывную модификацию?

  1. \(X_t=W_t^3\);
  2. \(X_t=tW_1\);
  3. \(X_t=\operatorname{sign}(W_t-t)\), где \(\operatorname{sign}(x)\) — функция знака (равна \(1\) для положительных чисел, \(-1\) для отрицательных и \(0\) при \(x=0\));
  4. \(X_t=W_{\lceil t^5+t\rceil}\), здесь \(\lceil x\rceil\) обозначает верхнюю целую часть числа \(x\).

Пусть \((W_t,\ t\geq 0)\) — винеровский процесс. Чему равна \(\operatorname{cov}(W_2^3,W_3)\)?

  1. \(0\);
  2. \(1\);
  3. \(3\);
  4. \(12\).

Пусть \(W_t^1,\ldots,W_t^d\) — независимые винеровские процессы. С какой вероятностью процесс \(W_t=(W_t^1,\ldots,W_t^d)\) (многомерный винеровский процесс) выйдет из шара произвольного фиксированного радиуса \(r\) с центром в нуле пространства \(\mathbb{R}^d\)?

  1. \(0\);
  2. \(1\);
  3. \(+\infty\);
  4. \(\dfrac{1}{\sqrt{2\pi r}}e^{-r^2/2}\);
  5. \(\dfrac{1}{(2\pi)^{d/2}r^d}e^{-r^2/2}\).