Неделя 5 — Марковские моменты: задачи 1–7

1 Задачи для самостоятельного решения

Выберите верные варианты ответов.

Пусть задана фильтрация \(\mathbb F=(\mathcal F_n,n\in\mathbb N)\), а \(\tau_1,\tau_2\) — марковские моменты относительно \(\mathbb F\). Какие из перечисленных величин в общем случае также являются марковскими моментами относительно \(\mathbb F\)?

  1. \(\tau_1\cdot\tau_2\);
  2. \(2\tau_2\);
  3. \(\frac12\tau_1\);
  4. \(|\tau_1-\tau_2|\).

Пусть \(\{\xi_n,n\in\mathbb N\}\) — независимые случайные величины, принимающие значения \(1\) и \(-1\) с вероятностью \(1/2\). Пусть \(\mathbb F^\xi=(\sigma(\xi_1,\ldots,\xi_n),n\in\mathbb N)\) — фильтрация, порождённая последовательностью \(\{\xi_n,n\in\mathbb N\}\). Рассмотрим \(\tau=\min\{n:\xi_{n-1}=\xi_n\}\), \(\sigma=\min\{n:\xi_n=\xi_{n+1}\}\). Отметьте ровно два верных утверждения.

  1. \(\tau\) — марковский момент относительно фильтрации \(\mathbb F^\xi\);
  2. \(\sigma\) — марковский момент относительно фильтрации \(\mathbb F^\xi\);
  3. \(\sigma=\tau-1\);
  4. \(\tau\) всегда наступает не позднее \(\sigma\).

Пусть \((N_t,t\ge 0)\) — пуассоновский процесс интенсивности \(\lambda\), а \(\tau=\min\{t:N_t=3\}\) — первый момент достижения значения \(3\). Чему равно \(\mathbb E\tau\)?

  1. \(6\lambda\);
  2. \(3/\lambda\);
  3. \(+\infty\);
  4. математическое ожидание не определено;
  5. \(3\lambda\).

Пусть \((N_t,t\ge 0)\) — пуассоновский процесс интенсивности \(\lambda\) с возрастающими и непрерывными справа траекториями, а также единичными скачками. Какие из перечисленных величин являются моментами остановки относительно естественной фильтрации процесса \((N_t,t\ge 0)\)?

  1. \(\tau_1=\sup\{t:N_t=5\}\);
  2. \(\tau_2=\min\{t:N_{\sqrt t}=4\}\);
  3. \(\tau_3=\min\{t:N_t=7\}\);
  4. \(\tau_4=\min\{t:N_{t^2}=5\}\).

Пусть \((W_t,t\ge 0)\) — винеровский процесс с непрерывными траекториями. Пусть \(M_1=\max_{s\in[0,1]}W_s\). Чему равно \(\mathbb E M_1\)?

  1. \(1\);
  2. \(\sqrt{2\pi}\);
  3. \(\sqrt{\frac{2}{\pi}}\);
  4. \(2\).

Пусть \((W_t,t\ge 0)\) — винеровский процесс с непрерывными траекториями. Пусть \(\tau\) — это первый момент пересечения винеровским процессом прямой \(y=x+1\), т.е. \(\tau=\min\{t:W_t=t+1\}\). Отметьте одно верное утверждение.

  1. \(\tau\) не является марковским моментом относительно естественной фильтрации процесса \((W_t,t\ge 0)\);
  2. \(\tau\) является марковским моментом относительно естественной фильтрации процесса \((W_t,t\ge 0)\), но не является моментом остановки;
  3. \(\tau\) является моментом остановки относительно естественной фильтрации процесса \((W_t,t\ge 0)\);
  4. \(\mathbb E\tau<+\infty\).

Пусть \((W_t,t\ge 0)\) — винеровский процесс с непрерывными траекториями. Положим \(\tau=\min\{t:W_t=5\}\). Чему равна плотность случайной величины \(Y=\max_{t\in[\tau,\tau+2]}W_t\)?

  1. \(f(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-(x-5)^2/2}\,\mathbf 1_{\{x>5\}}\);
  2. \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(x+5)^2/2}\);
  3. \(f(x)=\frac{1}{\sqrt\pi}e^{-(x-5)^2/4}\,\mathbf 1_{\{x>5\}}\);
  4. \(f(x)=\frac{1}{\sqrt\pi}e^{-x^2/4}\,\mathbf 1_{\{x>0\}}\).