Неделя 8 — Мартингалы: задачи

1 Неделя 8. Мартингалы — задачи

Условия и варианты ответов из листка. Ответы и решения не приводятся.

1.1 Вопросы на знание теории

Пусть \((X_t,\ t\ge 0)\) — \(L^1\)-процесс с независимыми приращениями с функцией среднего \(a(t)\), \(t\ge 0\). В каких из перечисленных ниже случаев процесс \(X_t\) является субмартингалом?

  1. \(a(t)=\sin t\);
  2. \(a(t)=2t-\sin t\);
  3. \(a(t)=e^{-t}\);
  4. \(a(t)=-1\).

Отметьте ровно два верных утверждения.

  1. Если процесс \((X_t,\ t\in T)\), \(T\subset\mathbb R\), является мартингалом, то функция \(\mathbb E X_t^2\) обязательно является постоянной функцией от времени;
  2. Если процесс \((X_t,\ t\in T)\), \(T\subset\mathbb R\), является мартингалом, то процесс \(Y_t=-X_t\) также обязательно является мартингалом;
  3. Если процесс \((X_t,\ t\in T)\), \(T\subset\mathbb R\), является мартингалом, то процесс \(Y_t=X_t+10\) также обязательно является мартингалом;
  4. Если процесс \((X_t,\ t\in T)\), \(T\subset\mathbb R\), является субмартингалом, то процесс \(Y_t=-X_t\) также обязательно является субмартингалом.

Пусть \((X_n,\ n\in\mathbb Z_+)\) — мартингал относительно фильтрации \(\mathbb F=(\mathcal F_n,\ n\in\mathbb Z_+)\), а \(\tau\) — ограниченный марковский момент относительно \(\mathbb F\). Отметьте верные утверждения, вытекающие из теоремы об остановке.

  1. \(\mathbb E X_\tau>\mathbb E X_0\);
  2. \(\mathbb E X_\tau=\mathbb E X_{\tau+1}\);
  3. \(\mathbb E X_\tau=\mathbb E X_0\);
  4. \(\mathbb E X_\tau<\mathbb E X_{\tau+1}\).

1.2 Тест

Пусть \((W_t,\ t\ge 0)\) — винеровский процесс, а \(\mathbb F^W\) — его естественная фильтрация. Положим \(X_t=W_{1/t}\), \(t>0\). Какие из нижеприведённых утверждений являются верными?

  1. \(X_t\) — мартингал относительно \(\mathbb F^W\);
  2. \(X_t\) — субмартингал относительно \(\mathbb F^W\);
  3. \(X_t\) не согласован с \(\mathbb F^W\);
  4. \(X_t\) — супермартингал относительно \(\mathbb F^W\).

Пусть \((W_t,\ t\ge 0)\) — винеровский процесс, а \(\mathbb F^W\) — его естественная фильтрация. Положим \(X_t=tW_t\), \(t\ge 0\). Какие из нижеприведённых утверждений являются верными?

  1. \(X_t\) не является ни суб-, ни супермартингалом относительно \(\mathbb F^W\) ни на \(\mathbb R_+\), ни на \([0,1]\), ни на \([1,+\infty)\);
  2. \(X_t\) — субмартингал относительно \(\mathbb F^W\) при \(t\ge 1\) (то есть на \([1,+\infty)\));
  3. \(X_t\) — субмартингал относительно \(\mathbb F^W\);
  4. \(X_t\) — супермартингал относительно \(\mathbb F^W\) при \(t\in[0,1]\).

Пусть \((W_t,\ t\ge 0)\) — винеровский процесс, а \(X_t=e^{W_t-t/2}\), \(t\ge 0\). Какие из приведённых ниже утверждений являются верными?

  1. Процесс \(X_t\) согласован с естественной фильтрацией процесса \((W_t,\ t\ge 0)\);
  2. Процесс \(X_t\) является мартингалом относительно естественной фильтрации процесса \((W_t,\ t\ge 0)\);
  3. Процесс \(X_t\) является мартингалом;
  4. Процесс \(X_t\) не является \(L^1\)-процессом.

Пусть \((N_t,\ t\ge 0)\) — пуассоновский процесс интенсивности \(4\). Какое единственное утверждение из перечисленных ниже является верным?

  1. Процесс \(N_t\) является супермартингалом;
  2. Процесс \(N_t^2\) является мартингалом;
  3. Процесс \(N_t-\frac13 t\) является субмартингалом;
  4. Процесс \(N_t-5t\) является субмартингалом.

Пусть \((X_n,\ n\in\mathbb Z_+)\) — ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона с законом размножения частиц \(\xi\), причём производящая функция \(\xi\) равна

\[ \varphi(s)=\frac13(1+s+s^3). \]

При каком из указанных \(a\) процесс \(Y_n=a^{X_n}\) является мартингалом относительно естественной фильтрации процесса \((X_n,\ n\in\mathbb Z_+)\)?

  1. \(a=\frac12\);
  2. \(a=\frac{\sqrt5-1}{2}\);
  3. \(a=\frac{\sqrt5+1}{2}\);
  4. \(a=\frac13\).

Пусть \((S_n,\ n\in\mathbb Z_+)\) — простейшее случайное блуждание с вероятностью шага вправо \(p=2/3\). Обозначим

\[ \tau=\min\{n:\ |S_n|=2\}. \]

Чему равно \(\mathbb E\tau\)?

  1. \(1\);
  2. \(\frac{13}{6}\);
  3. \(\frac{18}{5}\);
  4. \(+\infty\).